Упражнение 6. Задачи за B-сплайн криви

  1. Дадена е  B-сплайн крива C(u) от степен 2, дефинирана чрез 6 контролни точки
    P0 = (-2,-2), P1 = (-2,0), P2 = (0,2), P3 = (0,0), P4 = (2,0), P5 = (2,-2)
    и възлова редица U = { 0, 0, 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1, 1, 1}. 
    1. Добавете нов възел в 0,6 два пъти. Покажете всички подробни изчисления, включително диаграмите за значението на коефициентите и списъка на новите контролни точки;
    2. Намерете точката C(0,6) по алгоритъма на дьо Бор и задайте контролните полигони на двете дъги, на които се подразделя C(u) при u = 0,6;
    3. Намерете контролните точки и възловия вектор на ходографа на кривата; 
    4. Намерете параметричната форма на C'(u) в интервала [0,6;1].

     

  2. Дадена е възлова редица от 2(p+1) възела, от които първите p+1 възела са равни на 0, а останалите p+1 са равни на 1. Покажете, че за всяко i в интервала от 0 до p имаме Ni,p(u) = Bp,i(u). Освен това, основните B-сплайн функции от степен p се свеждат до основни Безие функции от степен p.

     

  3. Проверете дали показаната по-долу фигура изобразява стегната В-сплайн крива от степен 3, дефинирана чрез седем контролни точки и възли {0; 0; 0; 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1; 1; 1; 1}. На фигурата са показани и съответните на възлите точки от кривата. Ако фигурата не е коректна, посочете точно къде е грешката.

     

  4. Дадена е стегната В-сплайн крива от степен 4, дефинирана чрез 8 контролни точки Р0, ..., Р7 и 13 възела: 0[5], 1/4, 1/2, 3/4, 1[5]. С червени правоъгълници са отбелязани съответните точки на вътрешните възли.  

    1. Намерете изпъкналата обвивка, която съдържа дъгата, дефинирана върху възловия интервал [1/2;3/4). Аргументирайте отговора си;
    2. Ако контролната точка Р3 се премести в ново положение, намерете сегмента от кривата, който ще се промени. Обяснете защо.
    3. Ако възловата редица е {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1}, изчислете стойностите на всички ненулеви основни В-сплайн функции от степен 2 при u = 0,35. Покажете всички изчисления. Проверете дали е изпълнено свойството "разделяне на единицата".