Упражнение 3. Криви на Безие

  1. Дадени са три контролни точки в равнината Оxy: P0=(-1;0), P1=(0;1) и P2=(2;0).
    1. Запишете уравнението на Безие кривата C(u), дефинирана чрез дадените точки.
    2. Разпишете това уравнение в еквивалентната параметрична форма.
    3. Напишете уравненията на основните Безие функциите и да начертайте графики им.
    4. Използвайте калкулатор и параметризацията на кривата, за да намерите точките от графиката на кривата, които съответстват на u = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1. Начертайте графиката на кривата с мерна единица 4 см.
    5. Използвайте алгоритъма на дьо Кастелжо, за да намерите точките върху кривата, съответни на u = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1.
    6. Разделете кривата на Безие при u = 0,4 и подредете контролните точки на получените части на кривата.
    7. Увеличете степента на тази крива на 3 и подредете новото множество контролни точки Qi. След това увеличете степента на 4 и запишете новото множество контролни точки Ri. Начертайте съответните контролни полигони заедно с дадения, за да покажете ефекта на "отрязване на върховете". 

  2. Дадена е крива на Безие, дефинирана чрез контролните точки: (4,0), (0,4), (-4,0), (0,-4).
    1. Пресметнете коефициентите на Безие за u = 1/2.
    2. Намерете точката от кривата, съответна на u = 1/2, чрез алгоритъма на дьо Кастелжо. Начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 2 см.
    3. Разделете кривата при u = 1/2 и подредете контролните точки на двете части в правилния ред.
    4. Определете степента на дадената крива и я увеличете с единица. Намерете новите контролни точки и начертайте новия контролен полигон.
    5. Проверете дали дадената крива и кривата на Безие, дефинирана чрез контролните точки: (0,-4), (3,-7), (1,-1), (3,2) и (0,2) имат C1-, C2-, G1-, G2- и кривинна непрекъснатост.

  3. Дадена е крива на Безие, дефинирана чрез контролните точки: (0,0), (-2,-2), (-2,2), (2,2), (2,-2) и (0,0).
    1. Намерете точката от кривата, съответна на u = 1/2, чрез алгоритъма на дьо Кастелжо. Начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 2 см.
    2. Разделете кривата при u = 1/2 и подредете контролните точки на двете части в правилния ред.
    3. Определете степента на дадената крива и я увеличете с единица. Намерете новите контролни точки и начертайте новия контролен полигон.
    4. Проверете дали дадената крива  е C1-, C2-, G1-, G2- и кривинно-непрекъсната в (0,0).

  4. Нека са дадени две криви на Безие C1(u) и C2(v), където първата се дефинира чрез  контролните точки: P0=(0,-2), P1=(-2,-2), P2=(-2,0) и P3=(0,0), а втората - чрез контролните точки: Q0=P3, Q1=(2,0), Q2=(2,3) и Q3=(0,3); u, v са в [0;1].  Проверете непрекъснатостта до втора степен в точка (0;0) (т.е. C1-, C2-, G1-, G2- и кривинна непрекъснатост).

  5. Докажете следната формула:

    където Dik е k-тата разлика на контролните точки P0, ..., Pn, а C(k, j) е биномният коефициент, дефиниран както следва:

    С тази формула може да се изрази производна от по-висок ред, като се използват дадените контролни точки, а не крайните разлики на точки. Намерете тази зависимост на k-тата производна на крива на Безие чрез дадените контролни точки.