Упражнение 1-2. Параметрични криви

  1. Дадена е кривата с чрез параметризацията
                
    където а =
    const > 0. Да се намери естествена параметризация на c и дължината на дъгата на c между точките u = 1 и u = 10.

  2. Да се намерят уравненията на правите и равнините на триедъра на Френе за произволна точка на витлова крива c:
            
          
    (a>0, b
    ¹0 – const). Да се докаже, че кривината æ и торзиятаt са константи. Да се изследва възможността æ =t. Да се намери оскулачната окръжност на c за u=0.
  3.  

  4. Дадена е пространствена крива параметризирана спрямо произволен параметър. Да се намери реперът на Френе и да се изразят кривината и торзията в произволна точка на тази крива. Използвайте следните зависимости:
                         

  5. По бинормалите на естествено параметризирана крива с постоянна торзия са нанесени отсечки с постоянна дължина а. Да се определи ъгълът между бинормалите на с и получената крива с*.

  6. Да се намерят кривината и торзията на кривата верижка c, дефинирана чрез 
            

    където a = const, като производните са
            
        

  7. Главните нормали на крива с са бинормали на крива с*. Да се докаже, че за кривината æ и торзиятаt е изпълнено равенството æ=l(æ 2+t 2), където l=l(s) е разстоянието между съответните точки на с и с*.
  8. Дадена е естествено параметризирана крива с и крива с*, описана от краищата на отсечка нанесена с дължина  a = const по положителната посока на допирателната. Да се докаже, че правата, съединяваща произволна точка М* от с* и центъра на кривина за съответната й точка М от с, принадлежи на нормалната равнина на с* в М*.

  9. Дадени са две криви, дефинирани върху интервала [0, p], които се съединяват в координатното начало:
                

    Изследвайте за C1-, C2-, G1-, G2- и æ-непрекъснатост в точката на съединяване.