Въведение в MATLAB

1  Какво е MATLAB?

MATLAB е софтуерен пакет за математика, който използва преобразования на матрици за извършване на сложни математически изчисления. За разлика от Mathematica и Maple, той не е система за компютърна алгебра и затова не може да извършва символни пресмятания, освен ако за тази цел не се използва допълнителен toolbox - кутия с инструменти (напр. Symbolic Math Toolbox, който може да се купи от The Mathworks).

2  Основни команди

2.1   'demos' команда

MATLAB има много добре развита система за помощ, чийто прозорец се отваря като се напише

demos

в командния ред, следвано от натискане на клавиша $\hookleftarrow$. Появява се прозорецът за помощ. Той съдържа 'Contents', 'Index', 'Search', 'Demos' и 'Favorite'. Много проблеми често се решават бързо като се използва тази команда. Ако се знае названието на необходимата команда, с въвеждането на help и името на командата веднага се показва съответното обяснение, напр.

help sin

SIN синус.

SIN(X) е синус от елементите на X.

MATLAB винаги пише командите с големи букви, дори и да са въведени с малки букви. Това е така, защото системата се опитва да разпознае и да изпълни всяка команда, която се появява в прозореца за помощ. Този пример също отразява факта, че MATLAB изпълнява изчисленията си с вектори ('елементи на X').

2.2  Присвояване на стойности

MATLAB е пакет за числени пресмятания. Той изисква числа, с които да изчислява. Например изрази от вида $y=2x$ нямат смисъл за MATLAB, ако той не знае какво точно представлява $x$ .

При отварянето на MATLAB се появява командния прозорец. Ако въведем

y=2*x

и натиснем клавиша $\hookleftarrow$, ще се появи следнато съобщение за грешка

??? Undefined function or variable 'x'. (неопределена функция или променлива)

Затова, преди да изчислим изрази от вида $y=2x,$, най-напред трябва да решим каква е стойността на x и да запишем това в командния прозорец така:

x=2

след което да натиснем клавиша $\hookleftarrow \mathrm{key}\mathrm{.}$ На екрана се появява потвърждение, че на x е присвоена стойност 2.

След това въвеждаме

y=2*x

и MATLAB потвърждава, че на y е присвоена стойност 4.

Ако въведем друга стойност за x , напр.

x=3

MATLAB ще покаже новата стойност. Ако напишем

y

в командния прозорец, той ще покже, че y= 4.

Повторното въвеждане на

y=2*x

ще даде новата стойност на y. Ясно е, че MATLAB не изпълнява пресмятането, докато тя не се зададе в командния прозорец.

За изчисляване на степен на число, MATLAB използва знака "^" . За да изчислим $y=x^3$въвеждаме

y=x^3

Това ще даде y=27 , тъй като последната въведена стойност на x беше 3.

За да пресметнем корени на число, използваме факта, че $\sqrt[n]{a}$ може също така да се запише като $a^{\frac{1}{n}}$.

Въведете

a=27

Сега въведете

y=a^1/3

Отговирът, който получаваме е y=9 . Това не е резултата, който очакваме. MATLAB е интерпретирал y=a^1/3 като $y=\frac{a^1}{3}$

За да получим верен резултат, трябва да запишем дробта в кръгли скоби:

y=a^(1/3)

Това дава резултат 3 както очакваме.

Трансцендентното число $\pi$ се представя с pi . Въвеждаме

pi

в командния прозорец и получаваме

pi=3.1416. MATLAB е присвоил на pi стойността му, закръглена с четири десетични знака.

Въвеждаме

format long

pi

и ще получим отговор 3.14159265358979 т.е. с 14 десетични знака. Ако въведем

format short

то ще получим подразбиращите се 4 десетични знака.

Ако по аналогия въведем

e

отговорът на MATLAB ще е

??? Undefined function or variable 'e' (неопределена функция или променлива).

Това е така, защото експонента е дефинирана само като функция 'exp'. Следователно можем да присвоим стойност на e като въведем

e=exp(1)

което е еквивалентно на $e^1$. Този отговор потвърждава, че :

e =2.7183

2.3  Въвеждане на матрици

За да зададем матрица $3\times 3$ от вида

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$,

в командния ред записваме

A=[ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]

разделяйки всеки елемент с интервал, след което натискаме клавиша $\hookleftarrow$. Знакът ";" ; (точка и запетая) означава за MATLAB, че следващото въвеждане трябва да бъде поставено на нов ред в скоби. Ако командите са били въведени правилно, MATLAB ще покаже исканата матрица на екрана. Забележете, че MATLAB различава големите от малките символи! Напр. голямата буква A не е същото като малката буква a.

Ако е допусната грешка, MATLAB ще покаже съобщение с червени символи. Например, ако въведете

A=[ 1 2 3 ; 4 5 6 7 8 9 ]

MATLAB ще изведе

??? Error using ==> vertcat

CAT arguments dimensions are not consistent.

Може да не е очевидно от съобщението за грешка точно какво е объркано. Впрочем, ако прегледате оригиналната команда, лесно ще видите, че ";" е била пропусната между 6 и 7. Съобщението казва, че командата се опитва да създаде матрица с три елемента в първия реди с 6 елемента във втория ред.

Ако е допусната грешка вместо да набирате отново цялата команда е много по-лесно да натиснете клавиша ("стрелка нагоре") $(\uparrow )$ за да възстановите оригиналната команда, като въведете липсващия символ ;. Забележете, че за да изпълните наново командата не е необходимо да отивате на края на реда, преди да натиснете $\hookleftarrow$.

Ако не се иска показването на даден резултат на екрана, добавете символа ; в края на командата, така

A=[ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ] ;

Това в частност е желателно, когато резултатите са много.

Чрез натискане на Workspace в прозореца отляво на командния прозорец, може да се показват всички обекти, създадени с MATLAB в текущата сесия. Ако A е била въведена правилно, прозорецът ще покаже A с именувана колона и [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ] в колона от стойности.

Ако се въведе нова матрица

B=[ 1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12 ; 13 14 15 16 ] ;

и се провери прозорецът Workspace, B се показва на екрана като <4x4 double> , което е стандартна форма на за всички матрици, с размерност по-голяма от $3\times 3$.

Прозорецът Workspace е мощно средство за откриване на грешки. Една от най-честите грешки се допуска, когато има опит да се умножат две матрици с неподходящи вътрешни размерности. Това лесно може да се провери с прозореца Workspace.

2.4  Аритметични операции с матрици.

Събиране и изваждане на матрици се извършва със стандартните оператори + и - :

A+A

$\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 8& 10& 12\\ 14& 16& 18\end{array}$

A-A

$\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$

Забележете, че макар да се изисква матриците да се въвеждат с кавдратни скоби, то MATLAB не ги включва в изхода си.

2.5  Представяне на полиноми

Докато другите системи за компютърна алгебра представят полиномите като $x^2-3x+2$ явно, MATLAB използва вектор с коефициенти, за да представи полинома. В този случай векторът е $[1-32]$ . За намиране корените на полинома в MATLAB, се използва функцията: 'roots' :

p=[1 -3 2];

roots(p)

ans =

2

1

Корените могат да се намерят също и с пряко въвеждане на полиномния вектор във функцията:

roots([1 -3 2])

ans =

2

1

Забележете, че изпускането на квадратните скоби във функцията roots води до следното съобщение за грешка:

roots(1 -3 2)

??? roots(1 -3 2)

Error: ")" expected, "numeric value" found.

Също така, може да се намерят коефициентите на полинома, като се зададат неговите корени, използвайки функцията 'poly' :

poly([-2 2])

ans = 1 0 -4

Забележете, че втората компонента на вектора е нула, което показва, че исканият полином с корени -2 и 2 е: $x^2-4$ .

2.6  Рисуване на графики

MATLAB рисува графики като използва векторите с координатите. Тук е даден прост пример за създаване на два вектора с 5 елемента, присвоени на буквите 'x' и 'y' , след което са начертани x и y:

x=[1 2 3 4 5];

y=[2 4 6 8 10];

plot(x,y)

Виждаме графика, подобна на следната:

Разграфяването на оста Ox съответства на зададените от вектора x координати. Подобно е и разграфяването по оста за y . По подразбиране, MATLAB съединява точките със синя линия. Ако желаете да нарисувате само точките, зададени с координати, функцията plot трябва леко да се промени по следния начин:

plot(x,y,'x')

Ще се появи следното:

Всички координати (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) са нарисувани със сини 'x'. Синьото е цвят на графиката по подразбиране. Трябва да отбележим, че правата описва функцията $y=2x$ за $1\le x\le 5$ .

Друг начин да получим същата графика е да въведем

x=[1 2 3 4 5];

y=2*x;

plot(x,y,'x')

Този пример показва как с MATLAB се чертаят графики на функции на една променлива. Най-напред се прави вектор със стойностите за входната променлива, след това се изчисляват стойностите на функцията или по формулата на дефинирана от потребителя функция (напр. умножението по 2), или по формула, използваща някоя от вградените функции на MATLAB (напр. 'sin' , 'exp'), като формулата се присвоява на подходящо име на променлива (напр. 'y', 'output', и т.н.). Накрая използваме командата 'plot' за да получим графиката. Например, plot $y=\sin (x),-2\pi \le x\le 2\pi$.

x=[-2*pi -pi 0 pi 2*pi];

y=sin(x);

plot(x,y)

Това не точно това, което искахме! Очевидно 5 точки не са достатъчни за да се нарисува функцията синус. Освен това, ние знаем, че има точки, в които $\sin (x)$ има стойност 0, а MATLAB работи с крайна точност и прави закръгляния в рамките на ${\pm 10}^{-16}\mathrm{.}$За да получим по-правдоподобна графика на функцията синус, се нуждаем от повече точки. Тук са дадени два начина за получаване на подходящиявектор $x$. Формулата

x=-2*pi:0.1:2*pi;

създава вектор с първи елемент равен на -2*pi, като всеки следващ елемент е по-голям от предишния с 0.1, а последният елемент е почти равен (или по-малък) от $2\pi$ . Така създаденият вектор има 126 елемента. Сега прилагаме функцията синус и получаваме:

y=sin(x);

plot(x,y);

Забележете, че MATLAB малко разширява зададения интервал от двете страни, до най-близките цели четни числа, в случая показаният интервал е от -8 до 8. Това може да се избегне като въведем

axis tight

за да нарисуваме следното:

Тази графика точно запълва графичния прозорец. Другият начин, вместо да задаваме нарастването с 0.1 във вектора $x$ е да създадем вектор със желан брой равноотстоящи точки, като използваме командата 'linspace' :

x=linspace(-2*pi,2*pi,500);

Създава се вектор с 500 елемента, първият елемент е $=-2\pi$, последният е $=2\pi$, а между тях са 498 равноотдалечени елементи. Сега въвеждаме

y=sin(x);

plot(x,y)

за да получим нова графика на функцията синус, видимо подобна на предишната, като сега са използвани 500 точки, вместо 126.