|
|
 |
 |
 |
I. Свободни
вектори и линейни деиствия с тях. Векторно пространство и векторно
подпространство. |
|
 |
| 1. |
Дадени са точките A, B и
C, нележащи на една права. Ако О
е произволна точка, да се докаже, че:
a) точката М е среда на отсечката
АВ   ;
б) точката G е медицентър на 
 . |
| 2. |
Дадени са точките O1, O2,
O3 и A. Симетричната
точка на A относно O1
означаваме с A1, на A1
относно O2 - с A2,
на A2 относно O3
- с A3, на A3
относно O1 - с A4,
на A4 относно O2
- с A5, на A5
относно O3 - с A6.
Докажете, че A6 съвпада с A. |
| 3. |
В успоредника ABCD точките M
и N са среди съответно на BC
и CD. Точката P е такава,
че четириъгълникът AMPN е успоредник. Да
се докаже, че точките A, C
и P са колинеарни. |
| 4. |
Докажете следните следствия от аксиомите за векторно
пространство:
| а) |
нулевият вектор е единствен; |
б) |
противоположният вектор на даден вектор е единствен; |
| в) |
за всеки вектор  ; |
г) |
за всеки вектор ; |
| д) |
за всяко число  ; |
е) |
или  ; |
| ж) |
уравнението 
има единствено решение за 
(това решение се нарича разлика на
 и
,
и се означава чрез  ). |
|
| 5. |
Може ли едно векторно пространство да се състои само
от един вектор? А само от два различни вектора? |
| 6. |
Установете кое от следните множества е векторно пространство:
а) множеството Rn[x]
на полиномите от степен 
n;
б) множеството M на полиномите
от степен n;
в) множеството N = { 
R2[x] | ,
R};
г) множеството F = {(x,y,z)R3
| x - y + z = 0, 2x - y = 0};
д) множеството G = {(x,y,z)R3
| (x - y)2= 2x + y};
е) множеството на матриците от вида  (
a,b,c
R);
ж) множеството на матриците от вида  (
a,b
R).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
