Упражнение 8. Задачи за параметрични повърхнини 

1. Дадена е повърхнина S, зададена чрез следните параметричните уравнения: x = u cos v, y = u sin v, z = ln u. Намерете:
   1. Втора основна форма на S;
   2. Нормалната кривина n на S в точка М (u = 1, v = p/4) по допирателното направление на кривата С:  u = tg v върху S;
   3. Асимптотичните допирателни на S в точка М и асимптотичните линии в произволна точка на S и през точка М.

2. Да се изследва характера на точките на тор и значението му за броя на асимптотичните линии върху повърхнината.

3.  Намерете главните допирателни, главните линии и главните кривини в точка P (u = 0, v = 0), както и гаусовата и средна кривина на повърхнината:

1. сфера S: r = r(а cos u cos v, a cos u sin v, a sin u), a = const > 0;
2. прав хеликоид S: r = r(u cos v, u sin v, bv), b = const > 0;
3. S, образувана от главните нормали на кривата С: r = r(а cos u, a sin u, bu), където a, b = const > 0.