Упражнение 7. Задачи за параметрични повърхнини 

1. Дадена е повърхнина тор чрез параметричните уравнения: 

   x = (а + b cos u) cos v, y = (а + b cos u) sin v, z = b sin u, 

   където а и b са константи и 0 < b < a. Намерете уравненията на допирателната равнина и на нормалата на тора в произволна точка. Ако а = 3 и b = 2, намерете допирателната равнина успоредна на равнината x + y + z + 2004 = 0.  

2. Дадена е повърхнина псевдосфера чрез параметризация:  r (a sin u cos v, a sin u sin v, a ln|tg(u/2)| + a cos u). Намерете допирателната равнина и единичния нормален вектор на повърхнината в произволна нейна точка. 

3. Намерете допирателната равнина и нормалата на повърхнината S в точката й М, ако:  
   1. S : r ( u + v, u - v, uv ), M(u=2,v=1);
   2. S : r ( 2u - v, u² + v², u³ - v³ ), M(3,5,7).

4. Намерете първата основна форма на повърхнината сфера с параметризация: r ( а cos u cos v, а cos u sin v, а sin u). Намерете ортогоналните траектории на семейството криви u+v=const върху сферата.

5. Пресметнете ъгъла между кривите C₁ и C₂, които лежат върху повърхнината S, ако уравненията им са съответно: 
   C₁: u+v=0; C₂: u-v=0; S: x = u cos v, y = u sin v, z = u + v.