Упражнение 1-2. Параметрични криви

1. Дадена е кривата с чрез параметризацията
               
   където а = const > 0. Да се намери естествена параметризация на c и дължината на дъгата на c между точките u = 1 и u = 10.

2. Да се намерят уравненията на правите и равнините на триедъра на Френе за произволна точка на витлова крива c:
                  
   (a>0, b¹0 – const). Да се докаже, че кривината æ и торзиятаt са константи. Да се изследва възможността æ =t. Да се намери оскулачната окръжност на c за u=0.

 

3. Дадена е пространствена крива параметризирана спрямо произволен параметър. Да се намери реперът на Френе и да се изразят кривината и торзията в произволна точка на тази крива. Използвайте следните зависимости:
                        

4. По бинормалите на естествено параметризирана крива с постоянна торзия са нанесени отсечки с постоянна дължина а. Да се определи ъгълът между бинормалите на с и получената крива с*.

5. Да се намерят кривината и торзията на кривата верижка c, дефинирана чрез 
           
   където a = const, като производните са
                

6. Главните нормали на крива с са бинормали на крива с*. Да се докаже, че за кривината æ и торзиятаt е изпълнено равенството æ=l(æ ²+t ²), където l=l(s) е разстоянието между съответните точки на с и с*.
7. Дадена е естествено параметризирана крива с и крива с*, описана от краищата на отсечка нанесена с дължина  a = const по положителната посока на допирателната. Да се докаже, че правата, съединяваща произволна точка М* от с* и центъра на кривина за съответната й точка М от с, принадлежи на нормалната равнина на с* в М*.

8. Дадени са две криви, дефинирани върху интервала [0, p], които се съединяват в координатното начало:
               
   Изследвайте за C¹-, C²-, G¹-, G²- и æ-непрекъснатост в точката на съединяване.