Домашна работа 4. Задачи за параметрични повърхнини 

1. [8 т.] Намерете уравненията на допирателната равнина и на нормалата на повърхнина S в точка М, ако:  
   1. [4 т.] S: r(u, u²-2v, u³-3uv), M(1,3,4);
   2. [4 т.] S: r( u², (1/u) cos v, sin v), M(u=1,v=0).

2. [12 т.] Намерете първата основна форма на повърхнината S: 
   1. [7 т.] S (катеноид): r (ch u cos v, ch u sin v, u);
   2. [5 т.] S (хеликоид): r (u cos v, u sin v, av), a=const.

3. [10 т.] Намерете ъгъла между кривите C₁ и C₂, които лежат върху повърхнината S, ако уравненията им са съответно: 
   C₁: u+1=v; C₂: u+v=3; S: x = u cos v, y = u sin v, z = u².  

4. Дадена е повърхнина S чрез следните параметрични уравнения: x = u² + v², y = u² – v², z = uv; u, v > 0. Намерете: 
   1. [6 т.] Първа и втора основна форма на S;
   2. [6 т.] Нормалната кривина на S в точка М (u = v = 1) по допирателното направление на кривата C: v = u² върху S;
   3. [4 т.] Гаусовата и средната кривина на S;
   4. [7 т.] Асимптотичните линии през произволна точка на S и през точка M;
   5. [7 т.] Главните допирателни и главните кривини на S през точка M.