Домашна работа 2. Задачи за криви на Безие

  1. [15 т.] Крива на Безие е зададена чрез 4 контролни точки: (0,4), (4,0), (-4,-4), (-4,0).
    1. Пресметнете коефициентите на Безие за u = 1/4.
    2. Намерете точката от кривата, съответна на u = 1/4, чрез алгоритъма на дьо Кастелжо.
    3. Увеличете степента на кривата с единица и намерете новите контролни точки.
    4. Проверете дали дадената крива и кривата на Безие, дефинирана чрез контролните точки: (-4,0), (-4,4), (4,4), (4,0), имат C1-, C2-, G1-, G2- и кривинна непрекъснатост.

  2. [15 т.] Крива на Безие е зададена чрез следните контролни точки: (0,-3), (-3,0) и (0,3).
    1. Определете степента на тази крива и вида на кривата. Пресметнете коефициентите на Безие за u = 0,3.
    2. Намерете точката от кривата, съответна на u = 0,3, чрез алгоритъма на дьо Кастелжо. Покажете всички сметки и начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 2 см.
    3. Разделете кривата при u = 0,3 и подредете контролните точки на двете части в правилния ред.
    4. Увеличете степента на кривата с единица и намерете новите контролни точки.

  3. [19 т.] Дадени са шест контролни точки в равнината: (0,-2), (-2,-2), (-2,2), (2,2), (2,-2) и (0,-2).
    1. Изчислете коефициентите на Безие при u = 0,6 и тяхната сума.
    2. Използвайте алгоритъма на дьо Кастелжо, за да намерите точката върху кривата, която съответства на u = 0,6. Покажете всички изчисления и начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 2 см.
    3. Разделете кривата на Безие в u = 0,6 и подредете контролните точки на получените две дъги.
    4. Увеличете степента на тази крива до 6 и намерете новата редица на контролните точки. Покажете всички изчисления и начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 2 см.

  4. [3 т.] Нека са дадени две криви на Безие. Първата е дефинирана чрез 3 контролни точки: (-6;6), (-6;0) и (0;0), а втората - чрез 4 контролни точки: (0;0), (5;0), (5;-5) и (0;-5). Очевидно тези две криви са С0-непрекъснати в (0;0). Проверете дали те са и С1-непрекъснати в (0;0).

  5. [8 т.] Проверете следните формули за производната на основната Безие функция Bn,i(u) и за производната на кривата на Безие C(u), зададена чрез P0, P1, ..., Pn.