I

I. Задачи от вектори в равнината

1 зад. Даден е DАВС.

а/ aко А’, В’ и С’ са съответно среди на страните ВС, СА и АВ, докажете векторните равенства: ; , където О е произволна точка в равнината на DАВС;

б/ да се намери ъгъл ВАС, ако , а векторите и са перпендикулярни.

2 зад. Даден е DАВС

а/ ако М е среда на ВС, N лежи на АС, като е Р е такава точка от правата АВ, че , докажете че М, N и Р лежат на една права;

б/ да се намери , ако векторите и са перпендикулярни и .

II. Задачи от вектори в пространството

1 зад. Дадена е пирамидата SABCD с основа успоредника ABCD

a/ ако М е среда на АВ, R – среда на SC, a Q – медицентър на DBCD, намерете формулите за преход от афинната координанта система към афинната координатна система .

б/ нека K е точка от правата BC. Намерете простото отношение (BCK), така че точките M,Q и K да са колинеарни.

в/ ако Е z SB, F z SD, H z SA и SE:EB=3:1, SF:FD=1:3, да се пресметне простото отношение (SAH), така че R, E, F и H да са компланарни.

2 зад. Дадена е пирамидата SABCD с основа трапеца ABCD (AB||CD)

а/ aко R и T са среди на AB и CD съответно, O е пресечната точка на диагоналите, а E – пресечната точка на продълженията на бедрата, да се докаже, че R, O, T и Е са колинеарни.

б/ aко да се изразят координатите на радиус-векторите и в афинната координатна система .

в/ aко M, N и P лежат върху SA, SB и SC и съответно, като и а Q е точка от SD, да се пресметне простото отношение (DSQ), така че M, N,P и Q да лежат в една равнина.

3 зад. Дадена е пирамидата SABCD, като ABCD е успоредник

а/ точките M, N и P са разположени върху SA, SB и SC съответно, като SM:MA=3:1, SN:NB=1:1, SP:PC=3:5. Да се намерят координатите на радиус-вектора на медицентъра на DMNP спрямо афинната координатна система S.

б/ ако Q е точка от SO, където О е пресечната точка на диагоналите на успоредника, да се намери простото отношение (SOQ), така че точките M, N, P и Q са компланарни.

в/ да се докаже, че равнината, определена от M, N и P е успоредна на диагонала BD.

4 зад. Дадена е пирамидата SABCD, с основа успоредника ABCD.

а/ ако R е среда на SС, а Q е медицентъра на DBCD, изразете формулата за преход от афинната координата S към афинната координата .

б/ ако M и N са средите на АВ и СD съответно, а Р е средата на MN, докажете че А, Р и Q са колинеарни.

в/ нека Е е точка върху SВ, така че SE:EB=3:1, а F е точка върху СD. Намерете простото отношение (SDF), така че равнината, определена от точките R, E и F да е успоредна на правата SA.

III. Задачи от координати в равнината

1 зад. Точките А(–2,–2) и В(0,8) са върхове на правоъгълника ABCD с лице S=52. Да се намери:

а/ уравнението на страната АВ;

б/ уравнението на страната AD и координатите на върха D;

в/ уравнението на страната CD и координатите на върха С.

2 зад. За DАВС са известни върха С(-16,6), - височината през върха А и - медианата през върха В. Да се намери:

а/ уравнението на страната ВС;

б/ координатите на върха В;

в/ координатите на върха А.

3 зад. Дадени са точките А(3,0) и В(,2). Намерете:

а/ координатите на точка С, разположена върху оста Oy и връх на правоъгълния DАВС с прав ъгъл при върха А;

б/ уравнението на окръжност k през А, допираща се до права през В и успоредна на оста Ох, като центърът на k лежи на правата АВ.

4 зад. Дадени са правите и и точка А(–1,3). Да се намерят:

а/ ъглополовящата на ъгъла между l и m, в който лежи А;

б/ окръжност k през А, допираща се до l и m.

5 зад. За DАВС са дадени А(16,–1), ъглополовящата на вътрешния ъгъл на върха В и медианата през В. Намерете:

а/ координатите на върха В и уравнението на страната АВ;

б/ ортогонално-симетричната точка А’ на А относно l_B;

в/ уравнението на правата ВС;

г/ координатите на върха С и уравнението на правата АС.

6 зад. Дадени са правата и точка М(3,–3).

а/ намерете ортогонално-симетричната точка М’ на точка М, относно р;

б/ нека MNPQ е квадрат, като N, P z p. Намерете координатите на точка Q;

в/ намерете права q, успоредна на р и на разстояние от нея.

7 зад. Да се намери уравнението на окръжността с, ако центърът й О лежи на правата l с уравнение , а М(1,–1) и N(–1,–3) са точки от с. Да се намери точка Р от окръжността с, ако DMNP е правоъгълен с прав ъгъл при върха N.

8 зад. Дадени са правите , .

а/ при какви условия за l и μ правите са: пресичащи се, успоредни, сливащи се, перпендикулярни?

б/ нека l сключва ъгъл от 45° с абсцисата, а m е перпендикулярна на l. Да се намерят координатите на върховете на DАВС, ако А, В z l, C z m, а DАВС е равнобедрен правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха С и медианата АЕ минава през координатното начало.

IV. Комбинирани задачи в равнината – вектори и координати

1 зад. Катетите и на правоъгълен DАВС са с дължини 3 и 4 съответно, е височина, -ъглополовяща и е пресечната им точка. Ако , намерете:

а/ ;

б/ уравнението на , ако .

2 зад. е успоредник; – пресечната точка на диагоналите му; като , а е средата на .

а/ Докажете, че лежат на една права.

б/ Намерете уравнението на тази права, ако .

3 зад. ABCD е успоредник. Върху АВ е взета точка М така, че АМ:МВ=3:1, а N е средата на AD. P е пресечната точка на MN и AC.

а/ Да се намери отношението AP:PC.

б/ Да се намери уравнението на правата MN, ако A (0,0), B (4,0), C (4,4).

4 зад. ABCD е успоредник, О е пресечната точка на диагоналите му, М е точка от АВ, като АМ:МВ = 2:1, а т. а N е средата на ОВ.

а/ Докажете, че точките М, N и С лежат на една права.

б/ Намерете уравнението на тази права спрямо афинна координатна система, в която А(0,0), В(3,0),С (0,4).

5 зад. В DВАС точка е върху правата АВ, като АМ:МВ = 2:1, а т. а N е средата на ВС. Точка Р е среда на MN, а ВР пресича АС в точка Q. Намерете:

а/ отношението AQ:QC;

б/ уравнението на правата MN спрямо афинна координатна система, в която точките А, В и С имат съответно координати (0,0), (6,0) и (0,10).

6 зад.Точките принадлежат на страните на DАВС, като .

а/ Докажете, че и минават през една точка.

б/ Намерете уравнението на спрямо координатна система , ако .

7 зад. Страните на триъгълник имат съответно дължини 5, 4 и 6. e ъглополовяща, медиана, а точка лежи на като .

а/ Да се докаже, че правите минават през една точка.

б/ Да се намери уравнението на правата относно координатна система .

8 зад. ABCD е трапец, като АВ÷÷ CD; S= АDÇ ВС; О= АС ÇВД; G е медицентърът на триъгълник СDS.

а/ Докажете, че точките О,S,G лежат на една права.

б/ Намерете уравнението на тази права, ако А(0,0), B(1,0), D(0,1) и АВ=3СD.

9 зад. M,N са среди на страните АВ и CD в четириъгълник ABCD.

а/ Да се докаже, че медицентърът Q на триъгълник BCD, средата Р на MN и точка А лежат на една права.

б/ Да се намери уравнението на тази права, ако А (1,0), B(0,0), C(0,1), D(2/3,1/3).

10 зад. ABCDEF е правилен шестоъгълник

а/ да се изрази векторът в базиса, образуван от векторите и .

б/ да се състави общото уравнение на правата CD, ако А(0,0); В(1,0); Е(О,y_Е), y_Е>0.

11 зад. Нека Р е точка от страната AB на DАВС. През Р са прекарани прави, успоредни на медианите АМ₁ и ВМ₂ и пресичащи ВС и СА в А₁ и В₁ съответно.

а/ да се докаже, че Е – средата на А₁В₁, Р и медицентъра G на DАВС лежат на една права;

б/ да се състави уравнението на тази права, ако А(2,–3); В(6,5); С(7,–3) и АР:РВ = 1:3

V. Задачи от координати в пространството

1 зад. Дадени са точка , правите m:

и и равнината .Да се намерят:

а/ правата през точката , която е успоредна на ;

б/ равнината , която минава през и е успоредна на ;

в/ ортогонално-симетричната точка на относно правата .

2 зад. Дадени са точка М (3,3,1), права а: х=2+3s, у=-1+s, z=3+2s и равнина b:2x+2y+z+5=0. Да се намерят:

а/ уравнението на права, която минава през точка М и пресечната точка на а с b;

б/ равнина, която минава през точката М и правата а;

в/ разстоянието от точка М до равнината b и ортогонално-симетричната точка на М относно b.

3зад. Дадени са точка , правите , и равнината . Да се намерят:

а/ права през точката , която е ;

б/ равнина през точката , която е успоредна на и на ;

в/ точка ортогонално симетрична на относно .

4 зад. Дадени са точката , правите ; и равнината .Намерете: а/ права , минаваща през т. и успоредна на правата ;

б/ равнина , съдържаща т. и успоредна на правите и ;

в/ ортогонално-симетричната точка на относно равнината b.

5 зад. Дадени са точка , правите , и равнината . Да се намерят: а/ права през точката , която е успоредна на правата и точка от , така че разстоянието от до равнината да е ;